Liên hệ với các giá trị riêng

Vết của ma trận A bằng tổng các giá trị riêng của nó [2].

t r ( A ) = ∑ i = 1 n λ i {\displaystyle tr(A)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}} ,

trong đó λ i {\displaystyle \lambda _{i}} là giá trị riêng của A.

Tuyến tính

Cho A,B là các ma trận vuông cùng cấp và c là hằng số, khi đó:

t r ( A + B ) = t r ( A ) + t r ( B ) {\displaystyle tr(A+B)=tr(A)+tr(B)} , t r ( c ⋅ A ) = c ⋅ t r ( A ) {\displaystyle tr(c\cdot A)=c\cdot tr(A)} .

Giao hoán

Cho A là ma trận m hàng n cột, còn B là ma trận n hàng và m cột, thì [2]:

t r ( A B ) = t r ( B A ) {\displaystyle tr(AB)=tr(BA)} .

Vết của ma trận liên hợp

Cho A là ma trận vuông cấp n bất kì,Cho P là ma trận vuông cấp n và khả nghịch.Liên hợp của A theo P là P A P − 1 {\displaystyle PAP^{-1}} , khi đó ta có:

t r ( A ) = t r ( P A P − 1 ) {\displaystyle tr(A)=tr(PAP^{-1})} ,

có nghĩa là khi ta lấy liên hợp của ma trận thì vết của nó không thay đổi.

Vết của ma trận chuyển vị

Cho A là ma trận vuông cấp n bất kì, A T {\displaystyle A^{T}} là ma trận chuyển vị của nó. Ta có:

t r ( A ) = t r ( A T ) {\displaystyle tr(A)=tr(A^{T})} .

Vết của tích ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng

Vết của tích ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng bằng 0. Có nghĩa là:Nếu A là ma trận đối xứng và B là ma trận phản đối xứng, thì:

t r ( A B ) = 0 {\displaystyle tr(AB)=0} .